Εννοιολογική αλλαγή στα μαθηματικά: η περίπτωση της άλγεβρας

Σκοπός της παρούσα διατριβής ήταν να μελετηθεί ο τρόπος με τον οποίο κατανοούν οι μαθητές την έννοια της μεταβλητής και πιο συγκεκριμένα τη χρήση των γραμμάτων ως σύμβολα αριθμών στην άλγεβρα. Στα πλαίσια της διατριβής έγινε μια εκτενής παρουσίαση του θεωρητικού πλαισίου της εννοιολογικής αλλαγής το οποίο υιοθετήθηκε. Έγινε επίσης μια ιστορική αναφορά στην εξέλιξη της υιοθέτησης του αλγεβρικού συμβολισμού από τους μαθηματικούς, εστιάζοντας στα επιστημολογικά εμπόδια και τις εννοιολογικές δυσκολίες που έπρεπε να ξεπεράσουν. Βασική υπόθεση της έρευνας ήταν ότι οι μαθητές θα κατανοούν τις μεταβλητές στα πλαίσια του εναλλακτικού τους πλαισίου για τους αριθμούς, που είναι οργανωμένο γύρω από το φυσικό αριθμό, με αποτέλεσμα συγκεκριμένα λάθη και παρερμηνείες σε διάφορα αλγεβρικά πλαίσια. Τα αποτελέσματα των Πειραμάτων 1 και 2 έδειξαν ότι το εναλλακτικό πλαίσιο των μαθητών για τον αριθμό, που είναι οργανωμένο γύρω από το φυσικό αριθμό, επιβάλει στην κατανόηση της χρήσης των γραμμάτων στην άλγεβρα, δύο προϋποθέσεις: α) την ακεραιότητα, δηλαδή ότι τα γράμματα αναπαριστούν ακέραιους αριθμούς και όχι κλάσματα ή δεκαδικούς αριθμούς και β) την φαινομενικότητα του προσήμου, δηλαδή ότι το φαινομενικό πρόσημο μιας αλγεβρικής παράστασης, είναι το πραγματικό πρόσημο των τιμών που δύναται να αναπαραστήσει. Φαινομενικό πρόσημο είναι το πρόσημο που φαίνεται να έχει μια αλγεβρική παράσταση, ως εξωτερικό χαρακτηριστικό της μορφή της. Οι μαθητές έτειναν να θεωρούν ότι φαινομενικά θετικές αλγεβρικές παραστάσεις, όπως η 4γ, αναπαριστούν μόνο θετικούς και όχι αρνητικούς αριθμούς, και αντίστροφα για την φαινομενικά αρνητική παράσταση -β. Η παρερμηνεία του φαινομενικού προσήμου δεν είναι μια ανεξάρτητη και ασύνδετη παρερμηνεία αλλά μια έκφανση της τάσης των μαθητών να θεωρούν τα γράμματα στην άλγεβρα ως σύμβολα φυσικών αριθμών, όπως φάνηκε από τα αποτελέσματα του Πειράματος 3. Τέλος, στο Πείραμα 4, σχεδιάσαμε και εφαρμόσαμε μια διδακτική παρέμβαση που λάμβανε υπόψη την προϋπάρχουσα γνώση των μαθητών και τις λανθασμένες πεποιθήσεις τους σε σχέση με τη χρήση των γραμμάτων ως αλγεβρικά σύμβολα και που στόχευε να τους βοηθήσει να διορθώσουν την παρερμηνεία του φαινομενικού προσήμου. Με βάση τα αποτελέσματα αυτού του πειράματος αναφερθήκαμε στις παιδαγωγικές εφαρμογές των παραπάνω επισημάνσεων διατυπώνοντας συγκεκριμένες διδακτικές προτάσεις που θα υποστήριζαν τη μαθηματική κατανόηση της χρήσης των γραμμάτων ως γενικευμένους πραγματικούς αριθμούς.